قضیه نقطه ثابت براوئر: روش های اثبات و تعمیم ها

قضیه ی نقطه ثابت براوئر بیان می کند که هر خود نگاشت پیوسته ی fروی زیرمجموعه ی فشرده و محدب xاز فضای اقلیدسی متناهی البعد e باید دارای حداقل یک نقطه ی ثابت باشد. در این پایان نامه با متمرکز شدن روی قضیه ی نقطه ثابت براوئر، تعدادی از نتایج اصلی در نظریه ی نقطه ثابت توپولوژیک را ارائه می دهیم. در فصل اول تعدادی از مفاهیم مقدماتی که در ادامه به آن احتیاج خواهیم داشت بیان می کنیم. در فصل دوم اثبات های مختلفی ازاین قضیه با استفاده از ابزارهای مختلف ارائه می دهیم. این فصل را به دو بخش تقسیم می کنیم : روش های جبری و روش های آنالیزی. روش های آنالیزی یعنی این که دانشجو بتواند با استفاده از حساب دیفرانسیل و انتگرال و بعضی از مفاهیم آنالیز حقیقی به راحتی این اثبات ها را بفهمد. در سال 1912، براوئر اثباتی از قضیه ی نقطه ثابت براوئر منسوب به خود با استفاده از مفهوم درجه ی خودنگاشت پیوسته ی f روی sn-1ارائه نمود. همچنین در سال 1928 ، اسپرنر یک لم ترکیباتی ساده که با خصوصیات معین برچسب گذاری های رأس های یک مثلث بندی سر و کار داشت ، ارائه نمود. در سال 1929، کنستر، کوراتوفسکی و مازورکیه ویچ با استفاده از این لم، قضیه ی معروف kkm را اثبات کردند و سپس با استفاده از قضیه ی kkm، قضیه ی نقطه ثابت براوئر را نتیجه گرفتند. همچنین می توان قضیه ی نقطه ثابت براوئر را از راه های مختلفی تعمیم داد. در فصل سوم تعدادی از نکات اصلی در تعمیم این قضیه برای نگاشت های تک مقداری را مشخص می کنیم. تعمیم های اصلی، قضایای نقطه ثابت شودر و تیخونوف هستند. شودر این قضیه را به فضای باناخ و تیخونوف آن را به فضاهای برداری موضعاً محدب تعمیم دادند. همچنین ویژگی های نقطه ثابت را روی مجموعه های بسته و کراندار بر اساس شرایط مرزی و فرضیات ایجاب کننده ی فشردگی بیان می کنیم. در نتایج این فصل ما شرایط روی سه مولفه ی فضای e ، مجموعه ی x و خودنگاشت f روی x را تغییر داده و در هر حالت تعمیمی از قضیه ی نقطه ثابت براوئر به دست می آوریم. در فصل چهارم، مشابهی از قضیه ی نقطه ثابت براوئر و بعضی از نتایج فصل سوم، برای نگاشت های چند مقداری ارائه می دهیم. قضیه ی کاکوتانی گزاره ای در مورد نقاط ثابت زیرمجموعه های فشرده و محدب از rn است. تعمیم این قضیه به فضای باناخ توسط بوهنن بلاست و کارلین صورت گرفته و کی فن و گلیکسبرگ به طور مستقل این قضیه را به فضاهای برداری موضعاً محدب تعمیم دادند. در فصل آخر نیز تعدادی مختصری از کاربردهای زیاد قضیه ی براوئر را شرح می دهیم.